刘备在白帝城托孤时对诸葛亮的信任和期望是建立在两人之间长期的合作基础上的。自刘备三顾茅庐请出诸葛亮以来，他们之间的君臣关系就一直被传为佳话。诸葛亮以其卓越的智慧、忠诚和才能，帮助刘备建立了蜀汉政权，并在赤壁之战中与东吴联盟击败了曹操的大军，奠定了三分天下的格局。

在刘备去世前，他深知自己即将离开人世，而他的儿子刘禅即位后需要一位强有力的辅佐者来维系国家的稳定和发展。因此，他在临终之际将国家大事全权委托给诸葛亮，并且对诸葛亮的能力有着绝对的信心。这种信心不仅来自于诸葛亮的个人才干，也来源于他们在共同经历的风雨历练中所建立起来的深厚情谊和对彼此的了解。

首先，刘备知道诸葛亮是一位杰出的政治家和军事战略家。从隆中对开始，诸葛亮就展现出了其深谋远虑的战略眼光和治国理政的天赋。他在刘备集团中的地位日益重要，尤其是在刘备称帝之后，他被任命为丞相，掌握了极大的权力。这表明刘备对其能力和忠诚的高度认可。

其次，刘备相信诸葛亮具有出色的领导能力和组织才华。诸葛亮在治理地方期间，如南征孟获、北伐中原等行动中都表现出色，显示了他不仅能制定策略，还能有效地执行这些计划。此外，他还擅长人才选拔和培养，使得蜀汉的人才储备得以丰富和完善。这些都是成为一位优秀领导者所必需的品质。

再者，刘备清楚诸葛亮对自己的忠心耿耿。尽管历史上不乏权力的争夺和背叛，但诸葛亮始终保持着对刘备的坚定忠诚。即使在刘备最艰难的时刻，他也从未动摇过自己的信念和支持。这种忠诚让刘备可以放心地将国家和儿子的未来交到诸葛亮的手中。

最后，刘备可能还考虑到诸葛亮的人格魅力和道德修养。诸葛亮以“鞠躬尽瘁，死而后已”的精神著称，他对理想的追求和对事业的执着感动了许多人。这样的品德对于稳定人心和国家的发展至关重要。

综上所述，刘备在白帝城托孤时之所以对诸葛亮能够独当一面有着坚定的信心，是基于他们对彼此之间有着长达数十年的了解和合作；基于诸葛亮卓越的政治、军事才能以及他的忠诚、人格魅力和道德修养。这份信任不仅是两位杰出人物间关系的体现，也是中国古代君臣关系的典范之一。