作为一位精通中国历史的资深历史学者，我将对“老子出关后到底隐居何方”这一问题进行深入探讨和解读。老子是中国古代著名的思想家、哲学家，他的思想和著作对中国的文化发展有着深远的影响。然而，关于他晚年生活和最终归宿的记载却非常有限，这给后人研究其生平带来了很大的挑战。

据史料记载，老子在周朝末年担任过守藏室之史（即图书馆馆长），后来因为天下大乱而辞官隐退。传说他在函谷关遇到了尹喜，并将自己的哲学思想传授给了他，这就是后来的《道德经》。相传，《道德经》完成之后，老子骑着一头青牛离开了函谷关，从此不知所踪。

对于老子的去向，历史上有很多猜测和传说。一种流行的说法是他西出流沙，到达了古印度或者更远的地方。这种观点认为，老子的思想与古印度的瑜伽哲学有一定的相似之处，可能是因为他在旅途中受到了这些思想的启发。另一种可能的解释是，他回到了故乡苦县（今河南省鹿邑县一带），在那里度过余生。还有人说他在终南山找到了一处隐秘的山洞，潜心修炼道法。

无论是哪种可能性，可以确定的是，老子离开函谷关后的行踪一直是一个谜。由于当时的记录方式较为原始，而且缺乏系统性的历史档案管理，导致很多重要的历史事件和人物都没有详细的记录。因此，我们今天很难确切地知道老子最后去了何处以及他是如何去世的。

尽管如此，我们可以从他的思想和著述中窥探到一些线索。《道德经》中的许多篇章都强调了回归本源的重要性，这可能暗示着老子追求的是一种简朴宁静的生活状态。此外，书中也提到了隐匿和遁世的思想，这也许反映了老子晚年希望远离尘世的纷扰，寻找一片能够修身养性的净土。

综上所述，虽然我们不能给出一个确切的答案来解答“老子出关后到底隐居何方”这个问题，但通过对历史文献的分析和对老子思想的深刻理解，我们可以推测出几种可能性。无论如何，老子的智慧和精神遗产将继续影响着我们，激励我们去探索宇宙人生的大道，追求内心的平静与和谐。